الانتقال المتوسط في و ص حزمة

لدي مؤامرة من سلسلة زمنية في حزمة ggplot2 ولقد أجريت المتوسط ​​المتحرك وأود أن أضيف نتيجة المتوسط ​​المتحرك إلى مؤامرة من سلسلة زمنية. عينة من مجموعة البيانات p31.ambtemp دت -1 14 2007-09 -29 00 01 57 -1 12 2007-09-29 00 03 57 -1 33 2007-09-29 00 05 57 -1 44 2007-09-29 00 07 57 -1 54 2007-09-29 00 09 57 - 1 29 2007-09-29 00 11 57. التعليمات البرمجية المطبقة لعرض سلسلة زمنية عينة من عرض السلسلة الزمنية عينة من المتوسط ​​المتحرك المؤامرة عينة من النتائج المتوقعة. التحدي هو أن البيانات سلسلة زمنية أوف بنتيند من مجموعة البيانات التي تشمل الطوابع الزمنية ودرجة الحرارة ولكن متوسط ​​البيانات المنقولة تشمل مجرد عمود متوسط ​​وليس الطوابع الزمنية وتركيب هذين يمكن أن يسبب عدم الاتساق. المتوسطات المتحركة في R. To أفضل من معرفتي، R ليس لديه وظيفة مدمجة لحساب المتوسطات المتحركة باستخدام وظيفة مرشح، ومع ذلك، يمكننا كتابة وظيفة قصيرة للمتوسطات المتحركة. يمكننا بعد ذلك استخدام وظيفة على أي بيانات البيانات ماف، أو بيانات ماف، 11 إذا كنا وان t لتحديد عدد مختلف من نقاط البيانات من الافتراضي 5 أعمال التآمر كما المتوقعة ماف بيانات مؤامرة. بالإضافة إلى عدد من نقاط البيانات التي إلى المتوسط، يمكننا أيضا تغيير حجة الجانبين من الجانبين وظائف مرشح 2 يستخدم كلا الجانبين ، والجوانب 1 يستخدم القيم الماضية فقط. الملاحة الملاحة الملاحة الملاحة. استخدام R لتحليل سلسلة الوقت. التحليل سلسلة الوقت. هذا الكتيب إيتلز لك كيفية استخدام البرنامج الإحصائي R لتنفيذ بعض التحليلات البسيطة التي هي شائعة في تحليل البيانات سلسلة زمنية. ويفترض هذا الكتيب أن القارئ لديه بعض المعرفة الأساسية لتحليل السلاسل الزمنية، والتركيز الرئيسي للكتيب ليس لشرح تحليل السلاسل الزمنية، وإنما شرح كيفية إجراء هذه التحليلات باستخدام R. If كنت جديدا على سلسلة زمنية تحليل، وتريد أن تعرف المزيد عن أي من المفاهيم المعروضة هنا، أود أن أوصي كتاب جامعة المفتوحة سلسلة الوقت رمز المنتج M249 02، وهي متاحة من متجر جامعة المفتوحة. في هذا كتيب، سوف أستخدم مجموعات بيانات السلاسل الزمنية التي تم التكرم بإتاحتها من قبل روب هيندمان في مكتبة بيانات سلسلة الوقت الخاصة به. إذا كنت مثل هذا الكتيب، فقد ترغب أيضا في الاطلاع على كتيبتي حول استخدام R للإحصاءات الطبية الحيوية، و كتيب بلدي على استخدام R للتحليل متعدد المتغيرات. الوقت قراءة سلسلة البيانات. الشيء الأول الذي سوف تحتاج إلى القيام به لتحليل البيانات سلسلة الوقت الخاص بك سيكون لقراءتها في R، ومؤامرة سلسلة زمنية يمكنك قراءة البيانات إلى R باستخدام وظيفة المسح الضوئي، والتي تفترض أن البيانات الخاصة بك لنقاط زمنية متعاقبة في ملف نصي بسيط مع عمود واحد. على سبيل المثال، يحتوي الملف على بيانات عن سن وفاة الملوك المتعاقبين من انجلترا، بدءا من ويليام الفاتح هيبيل المصدر الأصلي و مكليود، 1994.The مجموعة البيانات تبدو مثل هذا. فقط تم عرض الأسطر القليلة الأولى من الملف الأسطر الثلاثة الأولى تحتوي على بعض التعليقات على البيانات، ونحن نريد أن نتجاهل هذا عندما نقرأ البيانات إلى R يمكننا استخدام هذا باستخدام المعلمة تخطي ل وظيفة المسح الضوئي، الذي يحدد عدد الخطوط في الجزء العلوي من الملف لتجاهل لقراءة الملف إلى R، وتجاهل الأسطر الثلاثة الأولى، ونحن type. In هذه الحالة سن الموت من 42 الملوك المتعاقبين من انكلترا قد قرأ في المتغايرين الملوك. بمجرد الانتهاء من قراءة البيانات سلسلة الوقت إلى R، فإن الخطوة التالية هي لتخزين البيانات في كائن سلسلة زمنية في R، بحيث يمكنك استخدام R العديد من الوظائف لتحليل البيانات سلسلة الوقت لتخزين البيانات في كائن سلسلة زمنية، نستخدم الدالة تيسي في R على سبيل المثال، لتخزين البيانات في الملوك المتغير ككائن سلسلة زمنية في R، ونحن نكتب. في بعض الأحيان مجموعة البيانات سلسلة الوقت التي لديك قد تم جمعها على فترات منتظمة التي كانت أقل من سنة، على سبيل المثال، شهرية أو ربع سنوية في هذه الحالة، يمكنك تحديد عدد المرات التي تم جمع البيانات في السنة باستخدام معلمة التردد في وظيفة تيسي بالنسبة إلى بيانات سلسلة زمنية شهرية، يمكنك تعيين التردد 12، بينما لبيانات سلسلة زمنية ربع سنوية، يمكنك تعيين تردد 4.You يمكن أيضا تحديد السنة الأولى التي تم فيها جمع البيانات، والفاصل الزمني الأول في ذلك العام باستخدام المعلمة البداية في الدالة تيسي على سبيل المثال، إذا كانت نقطة البيانات الأولى يتوافق مع الربع الثاني من عام 1986، يمكنك تعيين بداية c 1986 ، 2. على سبيل المثال هو مجموعة بيانات من عدد المواليد شهريا في مدينة نيويورك، من يناير 1946 إلى ديسمبر 1959 التي تم جمعها في الأصل من قبل نيوتن هذه البيانات متوفرة في الملف يمكننا قراءة البيانات في R، وتخزينها على النحو التالي كائن سلسلة زمنية، من خلال الكتابة. وبالمثل، يحتوي الملف على مبيعات شهرية لمتجر للهدايا التذكارية في بلدة منتجع الشاطئ في كوينزلاند، أستراليا، يناير 1987-ديسمبر 1993 البيانات الأصلية من ويلوريت وهيندمان، 1998 يمكننا قراءة البيانات إلى R عن طريق الكتابة. لوتينغ الوقت Series. Once كنت قد قرأت سلسلة زمنية في R، فإن الخطوة التالية هي عادة لجعل مؤامرة من البيانات سلسلة الوقت، والتي يمكنك القيام به مع وظيفة في R. For سبيل المثال، لرسم سلسلة زمنية من سن الموت من 42 ملوك المتعاقبة من انكلترا، ونحن يمكن أن نرى من مؤامرة الوقت أن هذه السلسلة الزمنية يمكن وصفها على الأرجح باستخدام نموذج المضافة، لأن التقلبات العشوائية في البيانات هي ثابتة تقريبا في الحجم مع مرور الوقت. وبالمثل، لرسم سلسلة زمنية من عدد المواليد لكل شهر في مدينة نيويورك، ونحن type. We يمكن أن نرى من هذه السلسلة الزمنية التي يبدو أن هناك تباين موسمي في عدد المواليد شهريا هناك ذروة كل صيف، وحوض صغير كل شتاء مرة أخرى، يبدو أن هذه السلسلة الزمنية يمكن وصفها على الأرجح باستخدام نموذج مضاف، حيث أن التقلبات الموسمية ثابتة تقريبا في الحجم بمرور الوقت ولا يبدو أنها تعتمد على مستوى السلاسل الزمنية، كما أن التقلبات العشوائية تبدو ثابتة تقريبا على مر الزمن. ، لرسم سلسلة زمنية من المبيعات الشهرية لمتجر الهدايا التذكارية في بلدة منتجع الشاطئ في كوينزلاند، أستراليا، ونحن type. In هذه الحالة، يبدو أن نموذج المضافة ليست مناسبة لوصف هذه السلسلة الزمنية، لأن حجم ويبدو أن التقلبات الموسمية والتقلبات العشوائية تزداد مع مستوى السلاسل الزمنية وبالتالي، قد نحتاج إلى تحويل سلسلة زمنية من أجل الحصول على سلسلة زمنية تحولت يمكن وصفها باستخدام نموذج المضافة على سبيل المثال، يمكننا تحويل الوقت سلسلة من خلال حساب السجل الطبيعي للبيانات الأصلية. هنا يمكننا أن نرى أن حجم التقلبات الموسمية والتقلبات العشوائية في سلسلة زمنية تحولت السجل يبدو أن ثابت تقريبا مع مرور الوقت، ولا تعتمد على مستوى الوقت سيريز وبالتالي، يمكن وصف السلسلة الزمنية التي تم تحويلها إلى السجل باستخدام نموذج مضاف. السلسلة الزمنية المتطورة. إن تقسيم سلسلة زمنية يعني فصلها إلى مكوناتها المكونة، والتي عادة ما تكون مكونا للاتجاه ومكونا غير منتظم، وإذا كانت سلسلة زمنية موسمية، مكون موسمي. تجهيز البيانات غير الموسمية. وتتألف السلاسل الزمنية غير الموسمية من مكون الاتجاه ومكون غير منتظم تحلل سلسلة الوقت إنف أولفس يحاول فصل السلاسل الزمنية في هذه المكونات، أي تقدير عنصر الاتجاه والمكون غير المنتظم. لتقدير عنصر الاتجاه لسلسلة زمنية غير موسمية يمكن وصفها باستخدام نموذج مضاف، فمن الشائع استخدام طريقة التجانس، مثل حساب المتوسط ​​المتحرك البسيط للسلسلة الزمنية. يمكن استخدام الدالة سما في حزمة تر R لتسلسل بيانات السلاسل الزمنية باستخدام متوسط ​​متحرك بسيط لاستخدام هذه الوظيفة، نحتاج أولا إلى تثبيت تر R حزمة للحصول على إرشادات حول كيفية تثبيت حزمة R راجع كيفية تثبيت حزمة R بمجرد تثبيت حزمة تر R يمكنك تحميل حزمة تر R عن طريق الكتابة. يمكنك بعد ذلك استخدام وظيفة سما لتسلسل البيانات سلسلة الوقت إلى استخدام الدالة سما، تحتاج إلى تحديد فترة ترتيب المتوسط ​​المتحرك البسيط، باستخدام المعلمة n على سبيل المثال، لحساب متوسط ​​متحرك بسيط من الترتيب 5، نضع n 5 في دالة سما. على سبيل المثال، كما نوقش أعلاه ، والوقت دوري الدرجة الاولى الايطالي s من سن الوفاة من 42 ملوك المتعاقبة انكلترا يبدو غير موسمي، وربما يمكن وصفها باستخدام نموذج المضافة، لأن التقلبات العشوائية في البيانات هي ثابتة تقريبا في الحجم مع مرور الوقت. وهكذا، يمكننا أن نحاول تقدير عنصر الاتجاه من هذه السلسلة الزمنية من خلال تمهيد باستخدام المتوسط ​​المتحرك بسيط لتسهيل السلاسل الزمنية باستخدام متوسط ​​متحرك بسيط من النظام 3، ومؤامرة البيانات سلسلة زمنية ممهدة، ونحن type. There لا يزال يبدو أن هناك الكثير جدا من التقلبات العشوائية في السلاسل الزمنية تمهيدها باستخدام متوسط ​​متحرك بسيط من أجل 3 وهكذا، لتقدير عنصر الاتجاه بشكل أكثر دقة، قد نرغب في محاولة تمهيد البيانات بمتوسط ​​متحرك بسيط من أجل أعلى هذا يأخذ قليلا من محاكمة و - خطأ، للعثور على كمية مناسبة من التمهيد على سبيل المثال، يمكننا أن نحاول استخدام المتوسط ​​المتحرك بسيط من النظام 8. البيانات ممهدة مع متوسط ​​متحرك بسيط من النظام 8 يعطي صورة أوضح عن عنصر الاتجاه، ويمكننا أن نرى أن عمر موت الملوك الإنجليز يبدو أن قد انخفض من حوالي 55 سنة إلى حوالي 38 سنة في عهد الملوك الأول 20، ثم ارتفع بعد ذلك إلى حوالي 73 سنة بحلول نهاية عهد الملك ال 40 في سلسلة زمنية. تتألف من البيانات الموسمية. السلسلة الزمنية الموسمية يتكون من مكون الاتجاه، عنصر موسمي وعنصر غير منتظم تحليل السلسلة الزمنية يعني فصل السلسلة الزمنية في هذه المكونات الثلاثة التي هي، وتقدير هذه المكونات الثلاثة. لتقدير عنصر الاتجاه والعنصر الموسمية لسلسلة زمنية موسمية يمكن وصفها باستخدام نموذج مضاف، يمكننا استخدام وظيفة تتحلل في R هذه الوظيفة تقدر الاتجاه، الموسمية، والمكونات غير النظامية من سلسلة زمنية يمكن وصفها باستخدام نموذج مضافة. وظيفة تتحلل يعود كائن قائمة ونتيجة لذلك، حيث يتم تخزين تقديرات العنصر الموسمية، مكون الاتجاه والمكون غير النظامية في العناصر المسماة من تلك القائمة س على سبيل المثال، كما نوقش أعلاه، فإن السلاسل الزمنية من عدد المواليد شهريا في مدينة نيويورك موسمية مع ذروة كل صيف وحوض كل شتاء، ويمكن وصفها على الأرجح باستخدام نموذجا إضافيا منذ التقلبات الموسمية والعشوائية ويبدو أن ثابت تقريبا في الحجم مع مرور الوقت. لتقدير الاتجاه والمكونات الموسمية وغير النظامية من هذه السلسلة الزمنية، ونحن type. The القيم المقدرة للمكونات الموسمية والاتجاه وغير النظامية يتم تخزينها الآن في المتغيرات بيرثستيمزيريزكومبونينتس الموسمية، بيرثستيمزيريزكومبونينتس الاتجاه و بيرثستيمزيريزكومبونينتس عشوائي على سبيل المثال، يمكننا طباعة القيم المقدرة للمكون الموسمي عن طريق الكتابة. العناصر الموسمية المقدرة تعطى للأشهر يناير-ديسمبر، وهي نفسها لكل سنة أكبر الموسمية عامل هو لشهر يوليو حوالي 1 46، وأدنى هو لشهر فبراير حوالي -2 08، مشيرا إلى أن هناك يبدو أن هناك ذروة في ولادة في جو لي والحوض الصغير في الولادات في فبراير من كل عام. يمكننا رسم الاتجاه المقدر، الموسمية، والمكونات غير النظامية من السلاسل الزمنية باستخدام وظيفة مؤامرة، على سبيل المثال. المؤامرة أعلاه يبين سلسلة الوقت الأصلي أعلى، مكون الاتجاه المقدر والثانية من الأعلى، والمكون الموسمي المقدر الثالث من الأعلى، والجزء غير المنتظم للمكون غير النظامي. ونرى أن مكون الاتجاه المقدر يظهر انخفاضا طفيفا من حوالي 24 في عام 1947 إلى نحو 22 في عام 1948، تليها زيادة مطردة من ثم إلى حوالي 27 في 1959.سياقيا ضبط. إذا كان لديك سلسلة زمنية الموسمية التي يمكن وصفها باستخدام نموذج المضافة، يمكنك ضبط موسميا سلسلة الزمنية عن طريق تقدير المكون الموسمي، وطرح المكون الموسمي المقدر من سلسلة زمنية الأصلي يمكننا أن نفعل وهذا باستخدام تقدير العنصر الموسمية المحسوبة من قبل وظيفة تتحلل. على سبيل المثال، لضبط موسميا سلسلة زمنية من عدد المواليد شهريا في مدينة نيويورك ، يمكننا تقدير العنصر الموسمية باستخدام تتحلل، ومن ثم طرح المكون الموسمي من سلسلة الوقت الأصلي. يمكننا ثم مؤامرة سلسلة الزمنية المعدلة موسميا باستخدام وظيفة مؤامرة، عن طريق الكتابة. يمكنك أن ترى أن تمت إزالة التباين الموسمية من المسلسلات الزمنية المعدلة موسميا سلسلة الزمنية المعدلة موسميا الآن يحتوي فقط على عنصر الاتجاه والمكون غير النظامية. المستقبلات باستخدام الأسي Smoothing. Exonential التجانس يمكن استخدامها لجعل التنبؤات على المدى القصير للبيانات time. Simple الأسى التمهيد. إذا كان لديك سلسلة الوقت التي يمكن وصفها باستخدام نموذج المضافة مع مستوى ثابت وليس الموسمية، يمكنك استخدام التمهيد الأسي بسيط لجعل التنبؤات على المدى القصير. تتيح طريقة التجانس الأسي بسيطة وسيلة لتقدير مستوى في نقطة الوقت الحالي يتم التحكم في التلميع بواسطة ألفا المعلمة لتقدير المستوى عند النقطة الزمنية الحالية قيمة ألفا تكمن بين 0 و 1 فا فإن الألفا التي تكون قريبة من 0 تعني أن الوزن القليل يوضع على الملاحظات الأخيرة عند وضع توقعات القيم المستقبلية. على سبيل المثال، يحتوي الملف على مجموع الأمطار السنوية في بوصة إلى لندن، من 1813-1912 البيانات الأصلية من هيبل وماكلويد ، 1994 يمكننا قراءة البيانات إلى R ورسمها من خلال الكتابة. يمكنك أن ترى من مؤامرة أن هناك مستوى ثابت تقريبا يبقى متوسط ​​ثابت في حوالي 25 بوصة ويبدو أن التقلبات العشوائية في سلسلة زمنية ثابتة تقريبا في حجم أكثر من الوقت، لذلك من المحتمل أن يكون من المناسب لوصف البيانات باستخدام نموذج المضافة وهكذا، يمكننا أن نجعل التنبؤات باستخدام التمهيد الأسي بسيطة. لجعل التنبؤات باستخدام التجانس الأسي بسيط في R، يمكننا أن تناسب نموذج التنموية الأسي بسيط بسيط باستخدام وظيفة هولتوينترس في R لاستخدام هولتوينترز للتجانس الأسي بسيط، نحن بحاجة إلى تعيين المعلمات بيتا فالس وغاما فالس في هولتوينترس وظيفة يتم استخدام معلمات بيتا وغاما ل هولت s إكس على سبيل المثال تمهيد، أو هولت-وينترس الأسي تمهيد، كما هو موضح أدناه. الدالة هولتوينترس إرجاع متغير قائمة، الذي يحتوي على العديد من العناصر المسماة. على سبيل المثال، لاستخدام تمهيد الأسي بسيط لجعل التنبؤات لسلسلة زمنية من هطول الأمطار السنوي في لندن، ونحن ويخبرنا إنتاج هولتوينترس أن القيمة المقدرة لمعلمة ألفا حوالي 0 024 وهذا قريب جدا من الصفر، يقول لنا أن التنبؤات تستند إلى الملاحظات الأخيرة والأقل حداثة على الرغم من أن هناك وزنا أكبر نسبيا على الملاحظات الأخيرة افتراضيا، هولتوينترس يجعل مجرد توقعات لنفس الفترة الزمنية التي تغطيها لدينا سلسلة زمنية الأصلي في هذه الحالة، لدينا سلسلة زمنية الأصلي شملت هطول الأمطار في لندن من 1813-1912، وبالتالي فإن التوقعات هي أيضا ل 1813-1912.في المثال أعلاه ، قمنا بتخزين الإخراج من وظيفة هولتوينترس في قائمة رينزيريزفوريكاست متغير يتم تخزين التوقعات التي أدلى بها هولتوينترس في عنصر اسمه من هذه القائمة متغير دعوة إد المجهزة، حتى نتمكن من الحصول على قيمهم عن طريق الكتابة. يمكننا رسم سلسلة الوقت الأصلي ضد التنبؤات عن طريق الكتابة. القطعة يظهر السلاسل الزمنية الأصلية باللون الأسود، والتنبؤات كخط أحمر سلسلة زمنية من التوقعات هو أكثر سلاسة من السلسلة الزمنية للبيانات الأصلية هنا. كما هو مقياس لدقة التنبؤات، يمكننا حساب مجموع الأخطاء المربعة لأخطاء التنبؤ في العينة، أي أخطاء التنبؤ للفترة الزمنية التي يغطيها لدينا الأصلي سلسلة زمنية يتم تخزين مجموع من المربعات أخطاء في عنصر اسمه من قائمة رينسيريزوريفيكاس متغير يسمى سس، حتى نتمكن من الحصول على قيمته عن طريق الكتابة. وهذا هو، هنا مجموع من المربعة أخطاء 1828 855.It هو شائع في التمهيد الأسي بسيط لاستخدام القيمة الأولى في السلسلة الزمنية كقيمة أولية للمستوى على سبيل المثال، في السلسلة الزمنية لهطول الأمطار في لندن، القيمة الأولى هي 23 56 بوصة عن هطول الأمطار في عام 1813 يمكنك تحديد الأولي قيمة للمستوى في هولتوينترس فونك من خلال استخدام المعلمة على سبيل المثال، لجعل التنبؤات مع القيمة الأولية للمستوى المحدد إلى 23 56، نكتب. كما هو موضح أعلاه، افتراضيا هولتوينترس يجعل مجرد توقعات للفترة الزمنية التي تغطيها البيانات الأصلية، وهو 1813- 1912 لسلسلة الوقت هطول الأمطار يمكننا أن نجعل التنبؤات لمزيد من النقاط الزمنية باستخدام وظيفة في حزمة توقعات R لاستخدام وظيفة، ونحن بحاجة أولا إلى تثبيت حزمة R توقعات للحصول على إرشادات حول كيفية تثبيت حزمة R، انظر كيفية تثبيت حزمة R. Once قمت بتثبيت حزمة R توقعات، يمكنك تحميل حزمة R التوقعات عن طريق الكتابة. عندما تستخدم وظيفة، كما الإدخال الحجة الأولى، يمكنك تمريرها النموذج التنبئي الذي قمت بتجهيز بالفعل باستخدام وظيفة هولتوينترس على سبيل المثال، في حالة السلاسل الزمنية لتساقط الأمطار، قمنا بتخزين النموذج التنبئي الذي تم استخدامه باستخدام هولتوينترس في المتغيرات المطرية المتغيرة يمكنك تحديد عدد النقاط الإضافية التي ترغب في جعل التنبؤات لها باستخدام h بارا متر في على سبيل المثال، لجعل توقعات هطول الأمطار لسنوات 1814-1820 8 سنوات أخرى باستخدام نحن type. The وظيفة يعطيك توقعات لمدة عام، فاصل التنبؤ 80 للتنبؤ، وفترة التنبؤ 95 للتنبؤ على سبيل المثال، فإن هطول الأمطار المتوقع لعام 1920 حوالي 24 68 بوصة، مع فاصل التنبؤ 95 من 16 24، 33 11.لرسم التوقعات التي يمكننا أن نستخدم وظيفة. هنا يتم رسم التوقعات لعام 1913-1920 كما الأزرق خط، الفاصل الزمني التنبؤ 80 كمنطقة مظللة البرتقالي، والفاصل الزمني التنبؤ 95 كمنطقة مظللة صفراء. وتحسب أخطاء التنبؤ والقيم الملحوظة ناقص القيم المتوقعة، لكل نقطة زمنية يمكننا فقط حساب أخطاء التنبؤ في الوقت المناسب الفترة التي تغطيها سلسلتنا الزمنية الأصلية، والتي هي 1813-1912 للبيانات هطول الأمطار كما ذكر أعلاه، مقياس واحد من دقة النموذج التنبؤية هو مجموع من المربعة أخطاء سس لأخطاء التنبؤ في العينة. في - خطأ أخطاء التنبؤ هي تخزين في متغيرات العناصر المسماة لمتغير القائمة التي تم إرجاعها إذا تعذر تحسين النموذج التنبئي، ينبغي ألا تكون هناك ترابط بين أخطاء التنبؤ بالتنبؤات المتعاقبة وبعبارة أخرى، إذا كانت هناك ارتباطات بين أخطاء التنبؤ بالتنبؤات المتعاقبة، فمن المرجح أن أن التنبؤات الأسية البسيطة للتجانس يمكن تحسينها بواسطة تقنية التنبؤ الأخرى. لتحديد ما إذا كان هذا هو الحال، يمكننا الحصول على رسم تخطيطي لأخطاء التنبؤ داخل العينة للتخلف 1-20 يمكننا حساب الرسم البياني لأخطاء التنبؤ باستخدام الدالة أكف في R لتحديد الفارق الزمني الأقصى الذي نريد أن ننظر إليه، نستخدم المعلمة في acf. For سبيل المثال، لحساب الرسم البياني لأخطاء التنبؤ في العينة لبيانات هطول الأمطار في لندن للتخلف 1-20، ونحن نكتب. يمكنك أن ترى من الرسم البياني عينة أن الارتباط الذاتي في تأخر 3 هو مجرد لمس حدود أهمية لاختبار ما إذا كان هناك أدلة هامة على عدم الصفر الارتباطات t متخلفة 1-20، يمكننا تنفيذ اختبار يجونغ بوكس ​​هذا يمكن أن يتم في R باستخدام، وظيفة الحد الأقصى للتخلف الذي نريد أن ننظر في تحديد باستخدام معلمة تأخر في وظيفة على سبيل المثال، لاختبار ما إذا كان هناك هي أوتوكوريلاتيونس غير الصفر في التأخر 1-20، لأخطاء التنبؤ داخل العينة لبيانات هطول الأمطار في لندن، ونحن نكتب. هنا اجتاز اختبار يجونغ بوكس ​​هو 17 4، وقيمة p هو 0 6، لذلك هناك القليل دلالة على ارتباطات ذاتية غير صفرية في أخطاء التنبؤ داخل العينة عند الفترات الزمنية 1-20.وللتأكد من أن النموذج التنبئي لا يمكن تحسينه، فمن الجيد أيضا التحقق مما إذا كانت أخطاء التنبؤ موزعة عادة بمتوسط ​​صفر التباين الثابت للتحقق مما إذا كانت أخطاء التنبؤ لها تباين ثابت، يمكننا أن نجعل مؤامرة زمنية لأخطاء التنبؤ داخل العينة. وتبين المؤامرة أن أخطاء التنبؤ داخل العينة يبدو أن لديها تباين ثابت تقريبا مع مرور الوقت، على الرغم من أن حجم التقلبات في بداية السلاسل الزمنية 1820-1830 قد يكون قليلا لي سس من ذلك في التواريخ اللاحقة مثل 1840-1850.للتحقق مما إذا كانت أخطاء التنبؤ موزعة عادة بمتوسط ​​صفر، يمكننا رسم رسم بياني لأخطاء التنبؤ، مع منحنى عادي مضاف إليه يعني صفر ونفس الانحراف المعياري مثل توزيع أخطاء التنبؤ للقيام بذلك، يمكننا تحديد وظيفة R بلوتفوريكاسترورس، أدناه. سوف تضطر إلى نسخ وظيفة أعلاه إلى R من أجل استخدامه يمكنك ثم استخدام بلوتفوريكاسترورس لرسم مخطط بياني مع منحنى العادي مضافين من أخطاء التنبؤ لتنبؤات هطول الأمطار. وتظهر المؤامرة أن توزيع أخطاء التنبؤ يتمركز تقريبا على الصفر، ويتم توزيعها بشكل طبيعي أو أكثر عادة، على الرغم من أنه يبدو أن يميل قليلا إلى اليمين بالمقارنة مع منحنى العادي ومع ذلك، فإن الانحراف الصحيح نسبيا صغيرة، وهكذا فمن المعقول أن يتم توزيع أخطاء التنبؤ عادة مع متوسط ​​الصفر. وأظهر اختبار يجونغ بوكس ​​أن هناك القليل من الأدلة على أوتوكوريلاتيونس غير الصفر في العينة في ل وأخطاء إيكاست، وتوزيع أخطاء التنبؤ يبدو أن توزع عادة مع متوسط ​​صفر وهذا يشير إلى أن طريقة التمهيد الأسي بسيطة توفر نموذجا تنبؤيا كافيا لهطول الأمطار في لندن، والتي ربما لا يمكن تحسينها وعلاوة على ذلك، فإن الافتراضات أن التنبؤات 80 و 95 استندت الفواصل الزمنية إلى أنه لا توجد أوتوكوريلاتيونس في أخطاء التنبؤ، وعادة ما يتم توزيع أخطاء التنبؤ مع متوسط ​​الصفر والتباين المستمر وربما تكون صالحة. التسرب الأسي هولت s. If لديك سلسلة زمنية يمكن وصفها باستخدام نموذج مضافة مع الاتجاه المتزايد أو المتناقص وليس موسمية، يمكنك استخدام هولت s التمهيد الأسي لجعل التنبؤات على المدى القصير. هولت s التمهيد الأسي يقدر مستوى والانحدار في نقطة الوقت الحالي يتم التحكم تمهيد من قبل اثنين من المعلمات، ألفا، لتقدير والمستوى عند النقطة الزمنية الحالية، وبيتا لتقدير المنحدر b من مكون الاتجاه في c النقطة الزمنية الحالية كما هو الحال مع التجانس الأسي البسيط، فإن قيمتي ألفا و بيتا لها قيم بين 0 و 1، والقيم التي تقترب من 0 تعني أن الوزن القليل يوضع على الملاحظات الأخيرة عند وضع التنبؤات للقيم المستقبلية. على سبيل المثال، سلسلة زمنية يمكن وصفها على الأرجح باستخدام نموذج إضافي مع اتجاه ولا موسمية هو سلسلة زمنية من قطرها السنوي من التنانير النسائية في تنحنح، من 1866 إلى 1911 البيانات متوفرة في البيانات الأصلية الملف من هيبل وماكلويد ، 1994. يمكننا أن نقرأ في ورسم البيانات في R عن طريق الكتابة. يمكننا أن نرى من مؤامرة أن هناك زيادة في قطر تنحنح من حوالي 600 في عام 1866 إلى حوالي 1050 في عام 1880، وأنه بعد ذلك انخفض قطر تنحنح إلى حوالي 520 في عام 1911.لجعل التنبؤات، يمكننا أن نتناسب مع نموذج التنبؤي باستخدام وظيفة هولتوينترس في R لاستخدام هولتوينترز ل هولت s الأسي التمهيد، ونحن بحاجة إلى تعيين المعلمة غاما فالس يتم استخدام المعلمة غاما ل هولت الشتاء الشتاء الأسية سمو على سبيل المثال، لاستخدام هولت s التمهيد الأسي لتناسب نموذج تنبئي للتنورة تنحنح القطر، ونحن type. The قيمة ألفا هو 0 84، وبيتا هو 1 00 هذه على حد سواء عالية، تقول لنا أن كلا من تقدير القيمة الحالية للمستوى والمنحدر b من مكون الاتجاه يستندان في الغالب إلى ملاحظات حديثة جدا في السلاسل الزمنية وهذا يجعل الحس السليم بديهيا لأن مستوى المنحدر الزمني والانحدار لهما تغيير الكثير جدا مع مرور الوقت قيمة مجموع من المربعات أخطاء لأخطاء التنبؤ في العينة هو 16954.We يمكن رسم سلسلة الوقت الأصلي كخط أسود، مع القيم المتوقعة كخط أحمر على رأس أن، من خلال الكتابة. يمكننا أن نرى من الصورة أن التنبؤات في العينة تتفق بشكل جيد مع القيم الملحوظة، على الرغم من أنها تميل إلى التخلف عن القيم الملحوظة قليلا. إذا كنت ترغب في ذلك، يمكنك تحديد القيم الأولية لل المستوى والمنحدر ب من عنصر الاتجاه باستخدام و أرغوم نتس للدالة هولتوينترس من الشائع تعيين القيمة الأولية للمستوى إلى القيمة الأولى في السلسلة الزمنية 608 للبيانات التنانير، والقيمة الأولية للمنحدر إلى القيمة الثانية ناقص القيمة الأولى 9 لبيانات التنانير على سبيل المثال، لتناسب نموذج تنبؤي لبيانات تنحنح تنورة باستخدام هولت s التمهيد الأسي، مع القيم الأولية من 608 للمستوى و 9 للمنحدر ب من عنصر الاتجاه، ونحن type. As للتمهيد الأسي بسيط، يمكننا أن نجعل توقعات للأوقات المستقبلية التي لا تغطيها السلاسل الزمنية الأصلية باستخدام الدالة في حزمة التوقعات على سبيل المثال، كانت بيانات سلسلة الوقت الخاصة بنا للتنورة هيمس 1866-1911، حتى نتمكن من جعل التوقعات لعام 1912 إلى 1930 19 المزيد من نقاط البيانات، و رسمها، من خلال الكتابة. تظهر التوقعات كخط أزرق، مع فترات التنبؤ 80 كمنطقة مظللة البرتقالي، وفترات التنبؤ 95 كمنطقة مظللة صفراء. أما بالنسبة للتمهيد الأسي بسيط، يمكننا التحقق ما إذا كان النموذج التنبؤي فصول التوجيه الجامعي لد تتحقق من خلال التحقق مما إذا كانت أخطاء التنبؤ داخل العينة تظهر أوتوكوريلاتيونس غير الصفر في التأخر 1-20 على سبيل المثال، لبيانات تنحنح تنورة، يمكننا أن نجعل من كوريلوغرام، وإجراء اختبار يجونغ بوكس، عن طريق الكتابة. هنا يوضح الرسم البياني أن الارتباط الذاتي للعينة في أخطاء التنبؤ في العينة عند الفارق 5 يتجاوز حدود الدلالة ومع ذلك، فإننا نتوقع واحد في 20 من أوتوكوريلاتيونس لأول عشرين الفترات تتجاوز حدود الأهمية 95 عن طريق الصدفة وحدها في الواقع، عندما نقوم بإجراء اختبار لجونغ بوكس، قيمة p هي 0 47، مما يشير إلى أن هناك القليل من الأدلة على أوتوكوريلاتيونس غير الصفر في أخطاء التنبؤ في العينة في الفترات الزمنية 1-20.As لتجانس الأسي بسيط، ينبغي لنا أيضا تحقق من أن أخطاء التنبؤ لها تباين ثابت مع مرور الوقت، وتوزع عادة مع متوسط ​​صفر يمكننا أن نفعل ذلك عن طريق جعل مؤامرة زمنية من الأخطاء المتوقعة، ومرتبة توزيع الأخطاء التنبؤ مع منحنى العادي مضاف. المؤامرة الزمنية من إلى عن على تظهر أخطاء إيكاست أن أخطاء التنبؤ لها تباين ثابت تقريبا مع مرور الوقت ويبين الرسم البياني لأخطاء التنبؤ أنه من المعقول أن يتم توزيع أخطاء التنبؤ عادة مع متوسط ​​الصفر والتباين المستمر. وهكذا، فإن اختبار يجونغ بوكس ​​يدل على أن هناك القليل من الأدلة من الأخطاء التلقائية في أخطاء التنبؤ، في حين أن مؤامرة الوقت والمخطط البياني لأخطاء التنبؤ تبين أنه من المعقول أن يتم توزيع أخطاء التنبؤ عادة مع متوسط ​​الصفر والتباين المستمر ولذلك، يمكن أن نخلص إلى أن هولت تمهيد الأسي يوفر نموذج تنبؤي كاف ل التنورة تنحنح أقطار، والتي ربما لا يمكن تحسينها بالإضافة إلى ذلك، فهذا يعني أن الافتراضات التي تستند إلى 80 و 95 فترات التنبؤ على الأرجح صالحة. ولت الشتاء الشتاء الأسي. إذا كان لديك سلسلة زمنية يمكن وصفها باستخدام نموذج المضافة مع الاتجاه المتنامي أو المتنامي والموسمية، يمكنك استخدام هولت الشتاء شتلة الأسي لجعل s والتنبؤات هورت الأجل. Holt-وينترس الأسي التمهيد يقدر مستوى والانحدار والمكون الموسمي في نقطة زمنية الحالية يتم التحكم في التلميع من قبل ثلاثة معلمات ألفا، بيتا، وجاما، لتقديرات المستوى، والانحدار ب من عنصر الاتجاه، والمكون الموسمي على التوالي عند النقطة الزمنية الحالية. أما المعلمات ألفا وبيتا و غاما فتتراوح قيمها بين 0 و 1، والقيم القريبة من 0 تعني أن الوزن القليل نسبيا يوضع على الملاحظات الأخيرة عند وضع التنبؤات القيم المستقبلية. على سبيل المثال من السلاسل الزمنية التي يمكن وصفها على الأرجح باستخدام نموذج المضافة مع الاتجاه والموسمية هو سلسلة زمنية من سجل المبيعات الشهرية لمتجر الهدايا التذكارية في منتجع منتجع في مدينة كوينزلاند، نوقشت أستراليا أعلاه. ل جعل التنبؤات، يمكننا أن نلائم نموذج تنبئي باستخدام وظيفة هولتوينترس على سبيل المثال، لتناسب نموذج تنبئي لسجل المبيعات الشهرية في متجر للهدايا التذكارية، ونحن type. The القيم المقدرة ل ألفا و بيتا و غاما هي 0 41 و 0 00 و 0 96 على التوالي قيمة ألفا 0 41 منخفضة نسبيا، مما يشير إلى أن تقدير المستوى في الوقت الحالي يستند إلى الملاحظات الأخيرة وبعض الملاحظات في أكثر بعدا بعيد قيمة بيتا هي 0 00، مما يشير إلى أن تقدير المنحدر b من مكون الاتجاه لا يتم تحديثه على مدى السلاسل الزمنية، وبدلا من ذلك يتم تعيين تساوي القيمة الأولية وهذا يجعل الحس السليم بديهية، كما يتغير مستوى قليلا على مدى السلاسل الزمنية، ولكن المنحدر ب من عنصر الاتجاه لا يزال تقريبا نفس في المقابل، فإن قيمة غاما 0 96 عالية، مشيرا إلى أن تقدير العنصر الموسمي في الوقت الحالي نقطة يستند فقط على أساس جدا الملاحظات الأخيرة. أما بالنسبة للتجانس الأسي بسيط وهولت s التمهيد الأسي، يمكننا رسم سلسلة الوقت الأصلي كخط أسود، مع القيم المتوقعة كخط أحمر على رأس ذلك. نرى من مؤامرة أن هولت الشتاء شتاء الأسلوب i s ناجحة جدا في التنبؤ قمم الموسمية، والتي تحدث تقريبا في نوفمبر من كل عام. لجعل التنبؤات في الأوقات المستقبلية غير المدرجة في سلسلة زمنية الأصلي، ونحن نستخدم وظيفة في حزمة التوقعات على سبيل المثال، البيانات الأصلية لمبيعات الهدايا التذكارية هو في الفترة من كانون الثاني / يناير 1987 إلى كانون الأول / ديسمبر 1993 إذا أردنا أن نجعل التنبؤات من كانون الثاني / يناير 1994 إلى كانون الأول / ديسمبر 1998 48 شهرا أخرى، ونرسم التوقعات، فإننا سنكتب. وتظهر التوقعات كخط أزرق، وتبين المناطق المظللة باللون البرتقالي والأصفر 80 95 على التوالي. ويمكننا التحقيق فيما إذا كان من الممكن تحسين النموذج التنبئي من خلال التحقق مما إذا كانت أخطاء التنبؤ داخل العينة تظهر أوتوكوريلاتيونس غير الصفرية في الفترات الزمنية 1-20، من خلال جعل الرسم البياني وإجراء اختبار لجونغ بوكس. ويبين الرسم البياني أن الارتباطات التلقائية لأخطاء التنبؤ داخل العينة لا تتجاوز حدود الدلالة للتخلف 1-20 وعلاوة على ذلك، فإن قيمة p للاختبار لجونغ بوكس ​​هي 0 6، مما يدل على أن هناك القليل من e دلالة الارتباطات غير الصفرية عند الفترات الزمنية 1-20.يمكننا التحقق مما إذا كانت أخطاء التنبؤ لها تباين ثابت مع مرور الوقت، وتوزع عادة بمتوسط ​​الصفر، وذلك بوضع مخطط زمني لأخطاء التنبؤات ورسم بياني مع منحنى عادي مضاف. من المؤامرة الزمنية، يبدو من المعقول أن يكون لأخطاء التنبؤ تباين مستمر مع مرور الوقت من الرسم البياني لأخطاء التنبؤ، يبدو من المعقول أن يتم توزيع أخطاء التنبؤ عادة مع متوسط ​​الصفر. وهكذا، هناك القليل من الأدلة على الترابط الذاتي عند التأخيرات 1- 20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models. Exponential smoothing methods are useful for ma king forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series. ARIMA models are defined for stationary time series Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to difference the time series until you obtain a stationary time series If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA p, d,q model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the diff function in R For example, the time series of the annual diameter of women s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time. We can difference the time series which we stored in skirtsseries , see above once, and plot the differenced series, by typing. The resulting time series of first differences above does not appear to be stationary in mean Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series. Formal tests for stationarity. Formal tests for stationarity called unit root tests are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences above does appear to be stationary in mean and variance , as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA p, d,q model for your time series, where d is the order of differencing used For example, for the time series of the diameter of women s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing d is 2 This means that you can use an ARIMA p,2,q model for your time series The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England see above. From the time plot above , we can see that the time series is not stationary in mean To calculate the time series of firs t differences, and plot it, we type. The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA p,1,q model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model. If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA p, d,q model To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stati onary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the acf and pacf functions in R, respectively To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set plot FALSE in the acf and pacf functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type. We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 -0 360 exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the pacf function, by typing. The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag lag 1 -0 360, lag 2 -0 335, lag 3 -0 321 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3.Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA autoregressive moving average models are possible for the time series of first differences. an ARMA 3,0 model, that is, an autoregressive model of order p 3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA 0,1 model, that is, a moving average model of order q 1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero. an ARMA p, q model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero although the correlogram probably tails off to zero too abruptly fo r this model to be appropriate. We use the principle of parsimony to decide which model is best that is, we assume that the model with the fewest parameters is best The ARMA 3,0 model has 3 parameters, the ARMA 0,1 model has 1 parameter, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, the ARMA 0,1 model is taken as the best model. An ARMA 0,1 model is a moving average model of order 1, or MA 1 model This model can be written as Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where Xt is the stationary time series we are studying the first differenced series of ages at death of English kings , mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA moving average model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut the function. The function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg type library forecast , then The output says an appropriate model is ARIMA 0,1,1.Since an ARMA 0,1 model with p 0, q 1 is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA 0,1,1 model with p 0, d 1, q 1, where d is the order of differencing required. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. Let s take another example of selecting an appropriate ARIMA model The file file contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 original data from Hipel and Mcleod, 1994 This is a measure of the impact of volcanic eruptions release of dust and aerosols into the environment We can read it into R and make a time plot by typing. From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series the order of differencing required, d, is zero here. We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use. We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3 The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag lag 1 0 666, lag 2 0 374, lag 3 0 162.The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds especially for lag 19 , the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds 0 666 , while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds -0 126 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2.Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series. an ARMA 2,0 model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2.an ARMA 0,3 model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA p, q mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate. Shortcut the function. Again, we can use to find an appropriate model, by typing , which gives us ARIMA 1,0,2 , which has 3 parameters However, different criteria can be used to select a model see help page If we use the bic criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA 2,0,0 , which is ARMA 2,0 bic. The ARMA 2,0 model has 2 parameters, the ARMA 0,3 model has 3 parameters, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA 2,0 model and ARMA p, q model are equally good candidate models. An ARMA 2,0 model is an a utoregressive model of order 2, or AR 2 model This model can be written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Xt is the stationary time series we are studying the time series of volcanic dust veil index , mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR autoregressive model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA 2,0 model with p 2, q 0 is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA 2,0,0 model can be used with p 2, d 0, q 0, where d is the order of differencing required Similarly, if an ARMA p, q mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA p,0,q model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model. Once you have selected the best candidate ARIMA p, d,q model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA p, d,q model using the arima function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, we discussed above that an ARIMA 0,1,1 model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the order argument of the arima function in R To fit an ARIMA p, d,q model to this time series which we stored in the variable kingstimeseries , see above , we type. As mentioned above, if we are fitting an ARIMA 0,1,1 model to our time series, it means we are fitting an an ARMA 0 ,1 model to the time series of first differences An ARMA 0,1 model can be written Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where theta is a parameter to be estimated From the output of the arima R function above , the estimated value of theta given as ma1 in the R output is -0 7218 in the case of the ARIMA 0,1,1 model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals. You can specify the confidence level for prediction intervals in by using the level argument For example, to get a 99 5 prediction interval, we would type h 5, level c 99 5.We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the function in the forecast R package For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type. The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings The function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings kings 43-47 , as we ll as 80 and 95 prediction intervals for those predictions The age of death of the 42nd English king was 56 years the last observed value in our time series , and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67 8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA 0,1,1 model, by typing. As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA 0,1,1 model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing. Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-v alue for the Ljung-Box test is 0 9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20.To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram with overlaid normal curve of the forecast errors. The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA 0,1,1 does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA 2,0,0 model To fit an ARIMA 2,0,0 model to this time series, we can type. As mentioned above, an ARIMA 2,0,0 model can be written as written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated The output of the arima function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0 7533 and -0 1268 here given as ar1 and ar2 in the output of arima. Now we have fitted the ARIMA 2,0,0 model, we can use the model to predict future values of the volcanic dust veil index The original data includes the years 1500-1969 To make predictions for the years 1970-2000 31 more years , we type. We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing. One worrying thing is that the model has predi cted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima and functions don t know that the variable can only take positive values Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test. The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0 2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20.To check whether the forecast errors are norm ally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram. The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0 22.The histogram of forecast errors above shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA 2,0,0 model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon. Links and Further Reading. Here are some links for further r eading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the Kickstarting R website. There is another nice slightly more in-depth tutorial to R available on the Introduction to R website. You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage. To learn about time series analysis, I would highly recommend the book Time series product code M249 02 by the Open University, available from the Open University Shop. There are two books available in the Use R series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. I am grateful to Professor Rob Hyndman for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library TSDL in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University boo k, Time series product code M249 02 , available from the Open University Shop. Thank you to Ravi Aranke for bringing to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me Avril Coghlan corrections or suggestions for improvements to my email address alc sanger ac uk.